AUTOentusiastas Classic (2008-2014): A INTELIGÊNCIA DAS MÁQUINAS - SEGUNDA PARTE

Suspensão: mecanismo físico x modelo matemático

Não existe uma definição precisa de inteligência. Entretanto, inteligência está ligada à capacidade do organismo ou sistema se adaptar e responder adequadamente aos desafios de um mundo imprevisível. Sob estas condições, podemos dizer que um sistema com uma dinâmica bem-ajustada é um passo na direção de um sistema inteligente.

Também é importante conhecer a dinâmica dos sistemas quando a inteligência da máquina atua no mundo real, porque ela será o primeiro elemento deste mundo real com o qual essa inteligência terá de lidar.

É isso que veremos a seguir.

Noções de dinâmica dos sistemas

Vamos imaginar uma suspensão automobilística bem simplificada. O conjunto seria um  sistema mecânico elementar, com uma massa, uma mola e um amortecedor, e o conjunto é animado pela aplicação de uma força externa.

O conjunto teria este modelo básico:

Modelo simples de uma suspensão

Vejam que não estou modelando a gravidade nem forças de atrito para manter o modelo bem simples.

Vamos imaginar que a força aplicada ao conjunto seja de 1 newton constante, porém só após 1 segundo após o início da observação.

Vejam como fica no gráfico de posição x tempo da massa do conjunto, se não houver amortecimento. O conjunto tende a oscilar com amplitude constante até o infinito. Por que isso ocorre?

Resposta de posição da massa do modelo simplificado sem amortecimento

A massa é um acumulador de energia mecânica na forma cinética, ou seja, relacionada à velocidade.  A massa também é um acumulador de energia potencial gravitacional, mas como a gravidade não foi considerada neste modelo simplificado, ela fica de fora do nosso modelo.

Por outro lado, a mola é um acumulador de energia mecânica na forma potencial de deformação elástica, ou em outras palavras, a mola acumula energia através da sua deformação.

Dizer que um componente é um acumulador de energia significa que ele é capaz de guardar (acumular) energia mecânica e devolvê-la completamente ao sistema num momento posterior.

O gráfico a seguir mostra o que resulta quando aumentamos a constante de mola e reduzimos a massa. A frequência de oscilação aumenta. Se aumentássemos a massa e reduzíssimos a constante da mola, a frequência da oscilação diminuiria. Quanto maior a constante da mola e menor a massa, maior a frequência de oscilação. Essa frequência de oscilação, um importante fator característico do sistema massa-mola, é sua frequência de ressonância.

Resposta do modelo simplificado com menos massa e mola mais rígida

Já o amortecedor é um componente dissipador da energia mecânica. Ele transforma energia de movimento em calor, removendo-a da dinâmica do sistema.

Sem o amortecedor, o sistema não amortecido permite que a energia potencial da mola seja convertida em energia cinética da massa e depois desta para energia potencial na mola, num ciclo sem fim. Sem dissipação, a energia permanece constante no sistema e ele oscilará para sempre.

Com pouco amortecimento, ou subamortecido, as oscilações continuam a existir, mas desta vez a amplitude vai se reduzindo até a nova posição de regime da massa.

Resposta do modelo básico com pequeno amortecimento

Quando falamos em sistemas sub-amortecidos, mencionamos o fenômeno do “overshooting”, que é quando o sistema ultrapassa a posição de regime e atinge um pico. Em sistemas sub-amortecidos, a oscilação se reduz, convergindo para a nova posição de regime.

O amortecedor não interfere apenas na amplitude da oscilação. Ao tornar o sistema progressivamente mais lento, a freqüência da oscilação também é reduzida. O amortecimento afeta a ressonância do sistema.

Quanto mais aumentamos o amortecimento, mais rapidamente a oscilação é dissipada, até que se atinge um ponto onde o sistema simplesmente não oscila e não oferece um overshooting. Este ponto é o que chamamos de criticamente amortecido.

Modelo criticamente amortecido

A partir daí, o crescimento do amortecimento do sistema faz o sistema demorar mais a se aproximar da posição de regime. Aliás, vemos claramente que, conforme aumentamos o amortecimento, diminui-se a oscilação, e, portanto a instabilidade, porém, perde-se também progressivamente a velocidade de resposta.

Modelo superamortecido

Visto isso, pode parecer que o ajuste ideal seja o criticamente amortecido, mas raramente o é. Na maioria das aplicações, admite-se um certo overshooting e uma pequena oscilação em troca de uma maior velocidade de resposta.

Modelo subamortecido de resposta rápida

Estes são os elementos básicos da dinâmica de sistemas. Outros sistemas mais sofisticados apresentam respostas mais complexas.

Falando sobre modelos mais complexos, o modelo simplificado que estudamos é bastante elementar. Um modelo mais complexo leva em consideração o problema da massa não suspensa.

O modelo mais universal para a suspensão do automóvel é a que vemos na imagem a seguir:

Modelo mais completo de uma suspensão automobilística

Vejam que introduzimos a massa não suspensa entre a mola e o amortecedor da suspensão, e outro conjunto de mola e amortecedor que modelam a elasticidade e as perdas mecânicas do pneu. O gráfico dessa figura mostra um comportamento característico. Geralmente a freqüência de ressonância da massa suspensa é ajustada em torno de 2 Hz, enquanto a ressonância da massa não suspensa e pneu fica em torno de 12 a 15 Hz.

Podemos tornar o modelo ainda mais complexo, modelando a massa do carro sobre duas ou 4 rodas. Quanto mais complexo, mais difícil de resolver o modelo, porém melhor é a descrição de outros comportamentos dinâmicos da carroceria, como os efeitos de rolagem.

Modelo matemático mais completo de um automóvel completo

A onipresença das equações diferenciais

Vamos continuar com nosso sistema de suspensão simples. Neste sistema há apenas uma massa, uma mola e um amortecedor. Nem vou considerar os efeitos da gravidade sobre a massa ou de qualquer tipo de atrito.

O que sabemos sobre a física desses componentes?

- Pelas leis de Newton, sabemos que a soma das forças sobre a massa (M) equivale ao valor da massa multiplicado pela sua aceleração (a).

- Pela lei de Hooke, sabemos que a força da mola equivale ao produto de uma constante de mola (K) pela deformação sofrida (x), sendo sempre contrária ao sentido desse deslocamento.

- O amortecedor é um componente que gera uma força de oposição ao deslocamento, proporcional a uma constante (B) pela velocidade (v) de deslocamento de sua haste.

Olhando para o diagrama de montagem da suspensão, vemos que deslocamento (x), velocidade (v) e aceleração (a) da massa são os mesmos da mola e do amortecedor.

Se colocarmos uma força externa qualquer sobre a massa e fizermos a somatória das forças ao longo do tempo, perceberemos que foi montada uma equação cuja solução depende de uma variável de posição (x), uma variável que é a primeira derivada da posição (a velocidade v) e outra variável que é a segunda derivada da posição (a aceleração a).

Temos, portanto, uma equação diferencial, onde há uma função de entrada (força F) e uma função de saída (deslocamento x), ambas as funções dependentes do tempo (t).

Equação diferencial do modelo simplificado

Equações diferenciais como esta estão ligadas a todos os sistemas físicos, químicos etc.. Elas são a expressão matemática da própria natureza.

O exemplo dado, bastante simples, permite que a solução desta equação seja expressa na forma de uma função matemática simples, permitindo prever o comportamento deste sistema. Mas nem todos os sistemas são assim. A maioria deles não possui uma solução discreta na forma de uma função matemática em função do tempo.

Apesar de não oferecerem uma solução matemática previsível no domínio do tempo, o sistema de notação algébrico permite várias análises teóricas do sistema, enquanto o computador pode transformar essa álgebra em números palpáveis mediante métodos de cálculo adequados.

Estes métodos de cálculo são usados nas simulações. Quando estamos num jogo de simulação de carros de corrida, vemos os carros com comportamentos dinâmicos de curva, de atuação do conjunto de suspensão e freios etc. dentro de um ambiente aparentemente realista. Para que a simulação pareça realista, a suspensão de cada roda do carro possui uma simulação do sistema dinâmico dela, e o computador “mastiga furiosamente” números de variáveis físicas para simular o trabalho dessas suspensões para avaliar o estado do carro e sua relação com o ambiente.

Há modelos bastante sofisticados já prontos para descrever a dinâmica de carros, motos, aviões, navios, naves espaciais, e muitos outros tipos de veículos.

Uma propriedade muito útil das equações diferenciais que descrevem esses sistemas dinâmicos é que, por elas, lá no fundo, descreverem fluxos de energia, tornando possível que sistemas mecânicos possuam equivalentes elétricos, por exemplo.

Equivalência entre um modelo de um sistema mecânico e um circuito elétrico

A força pode ser modelada pela tensão da bateria; a massa por um indutor; a mola por um capacitor; o amortecedor por um resistor; e assim por diante. Esta propriedade criou um ramo hoje quase que completamente esquecido, o dos computadores analógicos.

Durante as décadas 1930 a 1960, computadores analógicos de todos os tipos e tamanhos eram usados principalmente em simulações de outros sistemas físicos. Os primeiros simuladores de vôo para grandes jatos de passageiros funcionavam baseados em computadores analógicos. Eram limitados, incompletos e haviam muitas situações irreais, além de difíceis de programar e operar.

Antigos simuladores de vôo utilizavam computadores analógicos

A indústria automobilística também usou em larga escala computadores analógicos para simular suspensões, a fim de gerar valores básicos de projeto antes que um único parafuso de um novo modelo fosse fabricado.

Computadores analógicos usados na simulação de suspensões automobilísticas

Porém, com a introdução do computador digital, a simulação numérica passou a ser mais versátil e barata. Um exemplo está nos gráficos gerados do nosso modelo dinâmico simples e que ilustram este post, feitos em uma planilha de cálculo, permitindo simular diversas situações diferentes e ver os resultados.

Oportunamente, o método para a criação deste modelo poderá ser apresentado em um post específico, e estudaremos diversos comportamentos dinâmicos característicos das suspensões através dessa simulação.

Do passivo ao ativo

Uma suspensão de carro convencional usa os componentes descritos no modelo: mola e amortecedor. São elementos puramente passivos na grande maioria dos carros atuais. Com eles, junto com projetos mais precisos de geometria de suspensão, se consegue um bom comportamento dinâmico.

Já no post “Receita Mágica”, apresentei uma aplicação de fluidos magnetoreológicos nos amortecedores usados nos Corvettes.

A aplicação de um campo magnético muda a viscosidade do fluido magnetoreológico, que por sua vez muda a capacidade de amortecimento do amortecedor. O uso de acelerômetros e medidores de deslocamento da suspensão em relação à carroceria ligados a uma controladora devidamente programada pode reajustar rapidamente o amortecimento e adaptar o comportamento dinâmico do veículo para cada situação. Ainda assim, o componente continua sendo um amortecedor, só que ajustável eletronicamente. Este é um sistema semi-ativo.

Já num sistema ativo de suspensão, um atuador ativo (como um motor elétrico, por exemplo) toma o lugar do conjunto mola e amortecedor. O movimento da suspensão em relação à carroceria deixa de ser promovido pela dinâmica passiva e passa a ser feito pelo acionamento do atuador em função da geometria do piso. Copiando o perfil do piso em relação à carroceria, a roda não transfere esforços dinâmicos para a carroceria, que continua estável, para o conforto dos passageiros e estabilidade geral do veículo. Esse comportamento oferece segurança e suavidade além do possível para sistemas passivos ou semi-ativos, ao custo da grande complexidade e dificuldade de ajuste preciso do sistema. É o que vemos no sistema demonstrado pela Bose:

Sistemas ativos e semi-ativos implicam sistemas com realimentação, principalmente em feedback, e criam sistemas com dinâmicas bastante complexas. Estas dinâmicas complexas permitem ao sistema realizar funções mais complexas que a de sistemas passivos simples, com um comportamento mais próximo do desejável, porém eles também podem oferecer instabilidades indesejáveis.

Eles podem também receber controles que podem oferecer dinâmicas de ajuste diferentes conforme as condições ambientes ou o desejo do motorista.

Por outro lado, mesmo sistemas passivos podem ser desenvolvidos com maior grau de complexidade, para um comportamento mais adequado.

Em 2005,  os carros R26 da equipe Renault de Fórmula 1 utilizavam conjuntos dinâmicos passivos com uma massa de aproximadamente 9 kg, uma mola bem suave e um amortecedor sobrepostos ao chassi do carro. Esses conjuntos, apesar de pesados, substituíam os pesos de lastro, porém oferecendo uma funcionalidade de estabilidade ao veículo.

Sistema de massa-mola-amortecedor de estabilização utilizado pela Renault

Conforme passava nas ondulações da pista,  o carro da Renault ficava entre a dinâmica da suspensão e dos sistemas dinâmicos acessórios. O sistema dinâmico acessório era sintonizado para trabalhar em oposição de fase com as perturbações da suspensão, de tal forma que a massa suspensa do carro sofria pequenas oscilações, mesmo com fortes ondulações de pista. Era um efeito próximo ao da suspensão ativa.

Inicialmente foi usado um conjunto instalado no bico do carro, mas posteriormente um segundo conjunto foi aplicado junto ao tanque de combustível. MacLaren e Ferrari também começaram a experimentar e usar o sistema. Em 2006 a FIA proibiu o recurso, sob a estranha alegação que esse era um recurso de aerodinâmica móvel.

Este recurso tem precedentes. Muitas das mais altas torres do mundo precisam de pesos gigantescos suspensos por cabos, como pêndulos, instalados nos andares mais altos. As torres muito altas são muito elásticas, e podem oscilar fortemente sob a ação dos ventos. Para estabilizar essa oscilação, o pêndulo amortece essa vibração, absorvendo a energia de oscilação, e amortecedores a dissipam. Outros prédios possuem sistemas ativos de pesos.

Sistema de pêndulo com amortecedores em uma torre em Hong Kong

Ainda hoje, obter sistemas controlados dentro de parâmetros ótimos como os que vimos, ainda é foco para pesquisas em diversos setores.

Mas houve outro precedente na aplicação do sistema massa-mola: era o amortecedor de suspensão do Citroën 2CV, um carro de caráter popular lançado em 1948. Havia um conjunto em cada braço de suspensão, tipo empurrado na dianteira e arrastado, na traseira.

Conjunto massa-mola usado no Citroën 2CV e anos depois no Renault R26 de F-1

O pêndulo e o caos

Por diversas vezes já tenho falado aqui da Teoria do Caos. Pois é bem neste assunto onde não é possível deixar de mencioná-lo. Vou explicar o problema do ponto de vista matemático usando um exemplo bem simples e próximo ao leitor, o pêndulo simples.

Os leitores que já passaram pelo segundo grau já devem ter estudado o pêndulo simples, e a fórmula que calcula o período desse pêndulo.

Na faculdade, aprendemos nos cursos de cálculo e de física a calcular essa fórmula a partir da dinâmica do sistema:

O modelo do pêndulo simples cai numa equação diferencial. Há uma pequena curiosidade aqui. Esta equação diferencial não tem solução plena.

Observem o termo “sen(a)” (seno do ângulo a) no meio da expressão. É este termo que não permite que a equação diferencial possua uma solução na forma de uma função.

O que nos dizem os matemáticos e professores para solucionar essa equação diferencial? Eles afirmam que, quando “a” é muito pequeno, “sen(a)” se torna numericamente tão próximo de “a”, que podemos substituir “sen(a)” por “a”, e magicamente a equação diferencial oferece uma solução, que é a fórmula que conhecemos.

“Mágicas” como estas estão por toda matemática e por toda física. Os matemáticos e os físicos sempre disseram que essas coisas pequenas não são importantes porque causam erros pequenos, que se dissipariam ao longo do tempo.

A percepção que a humanidade tinha do Universo vindo dessa matemática era a de um ambiente confortavelmente previsível e controlável. Isso na verdade não é uma mágica, mas sim uma trapaça, e nós mesmos nos enganávamos com elas.

Isso durou até a década de 1960, quando o meteorologista Edwin Lorentz descobriu que pequenas diferenças em valores iniciais levavam os sistemas a comportamentos completamente díspares após um período de tempo. Pequenas diferenças podem causar mudanças drásticas ao longo do tempo. A descoberta de Lorentz, conhecida como “Efeito Borboleta”, derrubava por terra a idéia de previsibilidade e controlabilidade de sistemas, mesmo os mais simples, e deu partida à moderna Teoria do Caos.

Se antes a pequena trapaça nos conduzia a uma visão linear e bem comportada da natureza, com todo potencial para controlá-la, o que Lorentz nos mostrou é que não se podem cometer essas pequenas trapaças quando se lida com o Universo real, e que visto sem elas ele se mostra imprevisível e incontrolável, apesar de ele apresentar respostas inesperadamente estruturadas.

Um bom exemplo de um sistema muito simples simples, porém altamente caótico, é o pêndulo duplo, onde um pêndulo é posto a oscilar sobre a massa de outro pêndulo.

Hoje, ensina-se a engenharia de controle como algo determinista, capaz de fazer obedecer ao toque de um dedo os sistemas mais complexos. As pessoas comuns também esperam isso dos sistemas automáticos. Porém, os avanços tecnológicos desta área correm exatamente no sentido contrário, pois agora sabe-se que o caos é parte inseparável de todas as coisas.

Também aprendemos que quando tornamos sistemas dinâmicos cada vez maiores, mais complexos, mais rápidos e ainda os forçamos para que operem apenas por um lado (como forçarmos um sistema econômico ao crescimento constante o  mais vigorosamente possível) , mais bailamos com o caos oculto no sistema. Esta é a melhor razão pela qual bons projetos devem ser mantidos o mais simples possível.

Tire um tempo, e assista por completo o documentário a seguir. Ele ilustra muitos dos aspectos que estamos estudando:

Onde tudo isso nos leva

Vamos fechar esta parte com chave de ouro. Vejam este vídeo, e observem o que o apresentador conta sobre controlar sistemas e sua relação com equações diferenciais.

Divertido? Em termos. Como todo brinquedo que só faz uma dúzia de truques, logo se torna aborrecido.

Reparem que para cada demonstração e cada truque novo, um novo conjunto de aparelhos é usada. Cada truque exige uma programação específica, e cada quadricóptero não é flexível para se adaptar a novas funções sem receber a programação específica.

A verdadeira diversão está em fazer o modelo matemático do quadricópetro e da função a ser realizada e fazê-la funcionar. Isso pode demorar de semanas a anos, dependendo da função, e exige-se muito do projetista.

Embora o vídeo mostre de forma bem acessível o poder deste tipo de projeto, eles são limitados à precisão dos modelos matemáticos usados e do número de funções implementadas. Por mais que eles "aprendam" com este tipo de técnica, se auto-ajustando como demonstrado no vídeo, eles não são flexíveis ao ponto de oferecer uma resposta inesperada.

E como bem demonstrado no vídeo com o exemplo do copo com água, eles podem realizar suas funções apesar de ignorar totalmente o ambiente à sua volta.

Sendo assim, estes sistemas podem ser os melhores para a aplicação a que foram criados, mas não os force querendo que eles atuem naquilo que não foram preparados.

Este tipo de aplicação possui um desenvolvimento baseado em projeto, onde o projetista desce até os menores  detalhes de funcionamento do processo e estruturá-lo desde os micro-fenômenos para a macro aplicação.

Este método, clássico na cultura moderna, contrasta com os métodos utilizados pela natureza. Esta utiliza métodos onde pouco importam os micro-efeitos. Ela lida com a macro-aplicação diretamente tal qual uma caixa preta, e opera na melhor forma da tentativa e erro.

Mas aguardem. Veremos isso oportunamente, ainda dentro desta série.

AAD

Referências e fotos:
http://article.sapub.org/10.5923.j.jmea.20120202.04.html
http://www.histomil.com/viewtopic.php?f=338&t=3918&start=360
http://link.springer.com/chapter/10.1007%2F978-0-387-74244-1_15
http://www.formula1-dictionary.net/mass_damper.html
http://www.analogmuseum.org/english/impressions/
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